【三角函数公式表】在数学学习中，三角函数是一个重要的组成部分，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握常见的三角函数公式，不仅有助于提高解题效率，还能加深对三角函数性质的理解。以下是对常见三角函数公式的总结，并以表格形式进行展示，便于查阅和记忆。
一、基本三角函数定义
设一个角 $ \theta $ 的终边与单位圆交于点 $ (x, y) $，则：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦 | $ \sin\theta = y $ |
| 余弦 | $ \cos\theta = x $ |
| 正切 | $ \tan\theta = \frac{y}{x} $（$ x \neq 0 $） |
| 余切 | $ \cot\theta = \frac{x}{y} $（$ y \neq 0 $） |
| 正割 | $ \sec\theta = \frac{1}{x} $（$ x \neq 0 $） |
| 余割 | $ \csc\theta = \frac{1}{y} $（$ y \neq 0 $） |
二、常用三角恒等式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 基本恒等式 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 正切与余切关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $，$ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ |
| 正割与余割关系 | $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $，$ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $ |
| 平方关系 | $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $，$ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变换 | 公式表达式 |
| $ \theta + 2\pi $ | $ \sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta $，$ \cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta $ |
| $ -\theta $ | $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $，$ \cos(-\theta) = \cos\theta $ |
| $ \pi - \theta $ | $ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta $，$ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta $ |
| $ \pi + \theta $ | $ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta $，$ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta $ |
| $ \frac{\pi}{2} - \theta $ | $ \sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos\theta $，$ \cos\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin\theta $ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差 | $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| 余弦和差 | $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| 正切和差 | $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角 | $ \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta $ |
| 余弦倍角 | $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $ |
| 正切倍角 | $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角 | $ \sin\left( \frac{\theta}{2} \right) = \pm \sqrt{ \frac{1 - \cos\theta}{2} } $ |
| 余弦半角 | $ \cos\left( \frac{\theta}{2} \right) = \pm \sqrt{ \frac{1 + \cos\theta}{2} } $ |
| 正切半角 | $ \tan\left( \frac{\theta}{2} \right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ |
七、积化和差与和差化积
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 积化和差 | $ \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)] $ |
| $ \cos A \cos B $ | $ \frac{1}{2} [\cos(A+B) + \cos(A-B)] $ |
| $ \sin A \sin B $ | $ \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)] $ |
| 和差化积 | $ \sin A + \sin B = 2\sin\left( \frac{A+B}{2} \right)\cos\left( \frac{A-B}{2} \right) $ |
| $ \sin A - \sin B $ | $ 2\cos\left( \frac{A+B}{2} \right)\sin\left( \frac{A-B}{2} \right) $ |
| $ \cos A + \cos B $ | $ 2\cos\left( \frac{A+B}{2} \right)\cos\left( \frac{A-B}{2} \right) $ |
| $ \cos A - \cos B $ | $ -2\sin\left( \frac{A+B}{2} \right)\sin\left( \frac{A-B}{2} \right) $ |
八、反三角函数简要说明
| 函数名称 | 定义域 | 值域 | 说明 |
| arcsin | $ [-1, 1] $ | $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ | 反正弦函数 |
| arccos | $ [-1, 1] $ | $ [0, \pi] $ | 反余弦函数 |
| arctan | $ (-\infty, +\infty) $ | $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ | 反正切函数 |
通过以上表格的整理，可以更清晰地了解三角函数的基本概念、常用公式及其应用方法。掌握这些内容，有助于在实际问题中快速找到解题思路，提升数学思维能力。
