【三角函数公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。为了便于记忆和使用，常见的三角函数公式包括基本关系式、诱导公式、和差公式、倍角公式以及积化和差等。以下是对这些公式的总结，并以表格形式进行展示，方便查阅与理解。
一、基本关系式
三角函数的基本关系式是所有其他公式的基石，主要包括：
| 公式 | 含义 |
| $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ | 平方和关系 |
| $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ | 正切与余弦的平方关系 |
| $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ | 余切与正弦的平方关系 |
二、诱导公式（角度变化）
当角度发生变化时，三角函数值的变化规律称为诱导公式，适用于不同象限的角度转换。
| 公式 | 含义 |
| $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $ | 负角公式 |
| $ \cos(-\theta) = \cos\theta $ | 负角公式 |
| $ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta $ | 补角公式 |
| $ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta $ | 补角公式 |
| $ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta $ | 周期性公式 |
| $ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta $ | 周期性公式 |
三、和差公式
用于计算两个角的和或差的三角函数值。
| 公式 | 含义 |
| $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ | 正弦和差公式 |
| $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ | 余弦和差公式 |
| $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ | 正切和差公式 |
四、倍角公式
用于将一个角的三角函数表示为该角两倍或三倍的形式。
| 公式 | 含义 |
| $ \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta $ | 正弦倍角公式 |
| $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta $ | 余弦倍角公式 |
| $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ | 正切倍角公式 |
| $ \sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta $ | 正弦三倍角公式 |
| $ \cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta $ | 余弦三倍角公式 |
五、积化和差与和差化积
这些公式常用于简化三角函数的乘法运算。
| 公式 | 含义 |
| $ \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)] $ | 积化和差 |
| $ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)] $ | 积化和差 |
| $ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)] $ | 积化和差 |
| $ \sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A - B}{2} \right) $ | 和差化积 |
| $ \cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A - B}{2} \right) $ | 和差化积 |
| $ \sin A - \sin B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \sin\left( \frac{A - B}{2} \right) $ | 和差化积 |
| $ \cos A - \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \sin\left( \frac{A - B}{2} \right) $ | 和差化积 |
总结
三角函数公式种类繁多，但其核心思想是通过已知角度的三角函数值推导出未知角度的表达式，或者将复杂的乘积形式转化为更易处理的和差形式。掌握这些公式不仅有助于解题效率的提升，也对理解三角函数的本质有重要意义。建议在实际应用中结合图形辅助理解，增强记忆效果。
