【期望与方差公式】在概率论与统计学中，期望和方差是描述随机变量基本特征的两个重要概念。期望反映了随机变量的平均值，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。掌握这些公式的应用，有助于更好地理解和分析实际问题。
一、期望（Expectation）
期望是随机变量在大量重复试验中取值的平均趋势，也称为数学期望或均值。对于离散型和连续型随机变量，其期望计算方式有所不同。
1. 离散型随机变量的期望
设随机变量 $ X $ 可能取值为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \ldots, p_n $，则期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
2. 连续型随机变量的期望
设随机变量 $ X $ 的概率密度函数为 $ f(x) $，则期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
二、方差（Variance）
方差表示随机变量与其期望之间的偏离程度，数值越大，说明数据越分散；数值越小，说明数据越集中。
1. 方差的定义
方差通常用 $ \text{Var}(X) $ 表示，定义为：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2
$$
也可以通过展开公式简化为：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
三、常见分布的期望与方差公式
以下是几种常见的概率分布及其对应的期望与方差公式：
| 分布类型 | 概率质量/密度函数 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X = k) = p^k (1-p)^{1-k} $ | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $，$ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $，$ x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
四、总结
期望和方差是统计分析中的基础工具，广泛应用于金融、工程、数据分析等多个领域。理解它们的计算方法和应用场景，有助于更准确地评估风险、预测结果以及进行决策支持。
通过上述表格可以快速查阅不同分布的期望与方差，便于实际问题的建模与求解。掌握这些公式，是进一步学习概率统计的重要一步。
