【期望的求法】在概率论与数理统计中，期望是一个非常重要的概念，它反映了随机变量在大量重复试验中所表现出的平均值。理解期望的计算方法，有助于我们更好地分析和预测随机事件的结果。
一、期望的基本定义
设随机变量 $ X $ 可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则其数学期望（或期望值）定义为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
对于连续型随机变量，期望则通过积分形式表示：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
其中 $ f(x) $ 是概率密度函数。
二、期望的求法总结
以下是不同情况下期望的求法总结，便于快速查阅和应用：
| 情况类型 | 随机变量类型 | 公式表达 | 说明 | ||
| 离散型 | 离散随机变量 | $ E(X) = \sum x_i p_i $ | 各可能值乘以对应概率之和 | ||
| 连续型 | 连续随机变量 | $ E(X) = \int x f(x) dx $ | 积分形式，对概率密度函数加权求和 | ||
| 复合变量 | 如 $ Y = aX + b $ | $ E(Y) = aE(X) + b $ | 线性性质，期望可线性运算 | ||
| 条件期望 | 已知事件 A 下的期望 | $ E(X | A) = \sum x_i P(X=x_i | A) $ | 在条件概率下计算期望 |
| 联合分布 | 多维随机变量 | $ E(X,Y) = \sum x_i y_j p_{ij} $ | 多变量联合概率下的期望 |
三、实例解析
例1：掷骰子的期望
一枚均匀六面骰子，每个点数出现的概率均为 $ \frac{1}{6} $，则期望为：
$$
E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = 3.5
$$
例2：连续型随机变量的期望
设 $ X $ 服从区间 $ [0, 2] $ 上的均匀分布，则其概率密度函数为：
$$
f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{2}, & 0 \leq x \leq 2 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
则期望为：
$$
E(X) = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1
$$
四、总结
期望是衡量随机变量“中心位置”的重要指标，其计算方式根据变量类型有所不同。无论是离散还是连续，都可以通过加权求和或积分的方式进行计算。在实际问题中，掌握期望的求法有助于我们进行风险评估、决策分析等。
附注：期望具有线性性质，即 $ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $，这一性质在多变量分析中非常有用。
