【期望和方差的计算公式】在概率论与统计学中，期望和方差是描述随机变量核心特征的重要指标。期望反映了随机变量的平均取值，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。下面将对这两类指标的计算公式进行系统总结，并以表格形式清晰展示。
一、期望（Expected Value）
定义：期望是随机变量在所有可能取值上的加权平均，权重为对应的概率。
1. 离散型随机变量
对于离散型随机变量 $ X $，其可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应概率为 $ P(X = x_i) = p_i $，则期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
2. 连续型随机变量
对于连续型随机变量 $ X $，其概率密度函数为 $ f(x) $，则期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
二、方差（Variance）
定义：方差表示随机变量与其期望之间的偏离程度，即每个取值与期望的平方差的期望。
1. 离散型随机变量
方差公式为：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot p_i
$$
也可以通过展开公式简化为：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
2. 连续型随机变量
方差公式为：
$$
\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 \cdot f(x) \, dx
$$
或等价表达为：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
三、常见分布的期望与方差
| 分布名称 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 伯努利分布 | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 正态分布 | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
四、总结
- 期望反映的是随机变量的“中心位置”，是长期平均结果的理论值。
- 方差反映的是随机变量的“波动性”或“不确定性”，数值越大，说明数据越分散。
- 在实际应用中，期望和方差常用于风险评估、收益预测、质量控制等领域。
通过掌握这些基本公式，可以更准确地分析和理解随机现象背后的统计规律。
