【莱布尼茨收敛判别法】在数学分析中，判断无穷级数的收敛性是一个重要的问题。其中，莱布尼茨收敛判别法（Leibniz's Convergence Test）是用于判断交错级数是否收敛的一种有效方法。该方法由德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨提出，适用于形式为 $\sum (-1)^n a_n$ 的级数。
一、莱布尼茨收敛判别法的核心内容
莱布尼茨收敛判别法指出：若一个交错级数 $\sum (-1)^n a_n$ 满足以下两个条件，则该级数收敛：
1. 非增性：数列 $a_n$ 是非增的，即 $a_{n+1} \leq a_n$ 对所有 $n$ 成立；
2. 极限为零：$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。
满足这两个条件的交错级数必定收敛，但不一定绝对收敛。
二、适用范围与限制
| 条件 | 是否适用 | 说明 |
| 交错级数 | ✅ | 必须是形如 $\sum (-1)^n a_n$ 的级数 |
| 数列 $a_n$ 非增 | ✅ | 即 $a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \cdots$ |
| $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ | ✅ | 若不满足此条件，级数一定发散 |
| 绝对收敛 | ❌ | 该判别法只保证条件收敛，不能证明绝对收敛 |
三、典型应用示例
示例1：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$
- 通项：$a_n = \frac{1}{n}$
- 检查条件：
- $a_n$ 是非增的（随着 $n$ 增大，$\frac{1}{n}$ 减小）
- $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
- 结论：满足莱布尼茨判别法，级数收敛。
示例2：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^2}$
- 通项：$a_n = \frac{1}{n^2}$
- 检查条件：
- $a_n$ 是非增的
- $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$
- 结论：级数收敛。
四、注意事项
- 莱布尼茨判别法仅适用于交错级数，对于非交错级数无效。
- 若 $a_n$ 不是单调递减的，即使极限为零，也不能使用该判别法。
- 该判别法不能判断级数是否绝对收敛，需结合其他方法（如比值法、根值法等）进一步分析。
五、总结
| 项目 | 内容 |
| 名称 | 莱布尼茨收敛判别法 |
| 用途 | 判断交错级数的收敛性 |
| 条件 | 1. $a_n$ 非增；2. $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ |
| 适用对象 | 形如 $\sum (-1)^n a_n$ 的级数 |
| 局限性 | 仅判断条件收敛，不涉及绝对收敛 |
通过上述总结可以看出，莱布尼茨收敛判别法是一种简洁而有效的工具，尤其在处理一些常见的交错级数时非常实用。理解其适用条件和局限性，有助于更准确地判断级数的收敛性质。
