【三角函数导数公式】在微积分中，三角函数的导数是求解函数变化率的重要工具，广泛应用于物理、工程和数学分析等领域。掌握常见的三角函数导数公式，有助于提高解题效率与理解能力。以下是对常见三角函数及其导数的总结。
一、基本三角函数导数公式
| 原函数 | 导函数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
二、导数公式的推导思路（简要说明）
1. 正弦函数：利用极限定义或几何意义，可以得出其导数为余弦函数。
2. 余弦函数：通过正弦函数的导数结合三角恒等式可得。
3. 正切函数：由正弦与余弦的商函数，使用商法则推导出导数为 $\sec^2 x$。
4. 余切函数：类似正切函数，但符号相反。
5. 正割函数：通过余弦函数的倒数形式进行求导，得到 $\sec x \tan x$。
6. 余割函数：同理，为 $\csc x \cot x$ 的负值。
三、应用示例
- 求 $ y = \sin(2x) $ 的导数：
$$
y' = 2\cos(2x)
$$
- 求 $ y = \cos(3x) $ 的导数：
$$
y' = -3\sin(3x)
$$
- 求 $ y = \tan(x^2) $ 的导数：
$$
y' = 2x \sec^2(x^2)
$$
四、注意事项
- 在求导过程中，若函数为复合函数，需使用链式法则。
- 注意符号的变化，尤其是余弦、余切、余割等函数的导数中含有负号。
- 熟悉基本导数公式后，能够更快地处理复杂问题。
通过掌握这些基础的三角函数导数公式，可以更高效地应对各类微分问题，提升解题速度与准确性。建议多做练习，加深对公式的理解和记忆。
