【如何求分段函数的定义域】在数学中，分段函数是由多个不同表达式组成的函数，每个表达式对应不同的自变量范围。因此，求分段函数的定义域时，需要分别考虑各个部分的定义域，并将它们进行合并，得到整个函数的定义域。
一、
分段函数的定义域是所有组成部分定义域的并集。具体步骤如下：
1. 确定每一部分的定义域：对于每一个子函数，根据其表达式的类型（如根号、分母、对数等），找出其合法的自变量范围。
2. 将各部分的定义域进行合并：将所有子函数的定义域用集合或区间表示出来，然后取它们的并集。
3. 注意分段点的连续性：虽然分段点本身可能没有特别限制，但需要确保在该点处函数有定义。
例如，若一个分段函数由两部分组成，一部分定义在 $ x < 0 $，另一部分定义在 $ x \geq 0 $，则整个函数的定义域为 $ (-\infty, +\infty) $。
二、表格展示
| 分段函数形式 | 各部分定义域 | 整体定义域 |
| $ f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{当 } x < 0 \\ x^2 & \text{当 } x \geq 0 \end{cases} $ | $ x < 0 $ 的定义域为 $ (-\infty, 0) $ $ x \geq 0 $ 的定义域为 $ [0, +\infty) $ | $ (-\infty, +\infty) $ |
| $ f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} & \text{当 } x \geq 0 \\ \frac{1}{x-1} & \text{当 } x < 0 \end{cases} $ | $ x \geq 0 $ 的定义域为 $ [0, +\infty) $ $ x < 0 $ 的定义域为 $ (-\infty, 0) $ | $ (-\infty, 0) \cup [0, +\infty) = (-\infty, +\infty) $ |
| $ f(x) = \begin{cases} \log(x) & \text{当 } x > 0 \\ \frac{1}{x} & \text{当 } x < 0 \end{cases} $ | $ x > 0 $ 的定义域为 $ (0, +\infty) $ $ x < 0 $ 的定义域为 $ (-\infty, 0) $ | $ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $ |
| $ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & \text{当 } x \neq 0 \\ \text{无定义} & \text{当 } x = 0 \end{cases} $ | $ x \neq 0 $ 的定义域为 $ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $ | $ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $ |
