【如何求出一个函数的单调区间】在数学中，函数的单调性是研究函数变化趋势的重要性质之一。通过分析函数的单调区间，可以了解函数在哪些区间上是递增的，哪些区间上是递减的。掌握求解单调区间的步骤，有助于更深入地理解函数的图像与性质。
一、求函数单调区间的步骤总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1. 确定定义域 | 首先明确函数的定义域，因为单调性只能在定义域内讨论。 |
| 2. 求导数 | 对函数求一阶导数 $ f'(x) $，导数的正负决定了函数的单调性。 |
| 3. 找临界点 | 解方程 $ f'(x) = 0 $ 或使导数不存在的点，这些点称为临界点或不可导点。 |
| 4. 划分区间 | 将定义域按照临界点划分为若干个子区间。 |
| 5. 判断单调性 | 在每个子区间内，选取一个测试点，代入导数中判断其符号（正或负）。若导数为正，则函数在该区间内递增；若为负，则函数递减。 |
| 6. 整理结果 | 根据各区间内的单调性，写出函数的单调区间。 |
二、示例解析
以函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 为例：
1. 定义域：$ (-\infty, +\infty) $
2. 求导数：$ f'(x) = 3x^2 - 3 $
3. 找临界点：
$$
f'(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm1
$$
4. 划分区间：将定义域划分为三个区间：$ (-\infty, -1) $、$ (-1, 1) $、$ (1, +\infty) $
5. 判断单调性：
- 在 $ (-\infty, -1) $ 区间内，取 $ x = -2 $，则 $ f'(-2) = 3(4) - 3 = 9 > 0 $，函数递增；
- 在 $ (-1, 1) $ 区间内，取 $ x = 0 $，则 $ f'(0) = -3 < 0 $，函数递减；
- 在 $ (1, +\infty) $ 区间内，取 $ x = 2 $，则 $ f'(2) = 3(4) - 3 = 9 > 0 $，函数递增。
6. 整理结果：
- 递增区间：$ (-\infty, -1) $ 和 $ (1, +\infty) $
- 递减区间：$ (-1, 1) $
三、注意事项
- 单调性仅在函数的定义域内有效，不能跨过定义域的边界进行判断。
- 导数为零的点可能是极值点，但不一定是单调性的分界点。
- 若导数在某点不存在，也需考虑该点对单调性的影响。
通过上述步骤，可以系统地求出一个函数的单调区间，从而更好地理解其图像和性质。对于复杂的函数，还可以结合图像辅助分析，提高判断的准确性。
