【求极限lim的常用公式有哪些】在高等数学中，求极限是常见的问题之一，掌握一些常用的极限公式和方法，能够帮助我们更高效地解决相关问题。以下是对常见极限公式的总结，结合具体例子进行说明，并以表格形式呈现，便于理解和记忆。
一、基本极限公式
1. 常数极限
若 $ C $ 是常数，则：
$$
\lim_{x \to a} C = C
$$
2. 多项式函数极限
对于多项式 $ f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0 $，则：
$$
\lim_{x \to a} f(x) = f(a)
$$
3. 分式极限（分子分母同为多项式）
若分子与分母的次数相同，则极限为最高次项系数之比；若分子次数低于分母，则极限为 0；反之则为无穷大。
4. 指数函数极限
- $ \lim_{x \to 0} e^x = 1 $
- $ \lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0 $
5. 对数函数极限
- $ \lim_{x \to 1} \ln x = 0 $
- $ \lim_{x \to \infty} \ln x = \infty $
6. 三角函数极限
- $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $
- $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} $
- $ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 $
二、重要极限公式
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 自然对数极限 | $ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 $ | 常用于对数函数的近似计算 |
| 指数增长极限 | $ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a $ | 与自然常数 $ e $ 相关 |
| 有理函数极限 | $ \lim_{x \to \infty} \frac{ax^n + b}{cx^m + d} $ | 分子分母次数决定极限结果 |
| 无穷小乘积极限 | $ \lim_{x \to 0} x \cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0 $ | 无穷小乘有界函数仍为无穷小 |
三、极限运算规则
1. 极限的加法法则
$$
\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)
$$
2. 极限的乘法法则
$$
\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)
$$
3. 极限的商法则
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \quad (g(x) \neq 0)
$$
4. 复合函数极限法则
若 $ \lim_{x \to a} g(x) = L $，且 $ \lim_{y \to L} f(y) = M $，则：
$$
\lim_{x \to a} f(g(x)) = M
$$
四、特殊极限技巧
- 洛必达法则（L’Hospital Rule）
当 $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} $ 为 $ \frac{0}{0} $ 或 $ \frac{\infty}{\infty} $ 形式时，可使用：
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$
- 泰勒展开法
将函数在某点展开为泰勒级数，有助于简化复杂极限表达式。
- 等价无穷小替换
在极限过程中，若 $ f(x) \sim g(x) $（即 $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 $），则可以相互替代。
五、总结
掌握这些基本的极限公式和运算规则，是解决复杂极限问题的基础。在实际应用中，灵活运用这些公式，并结合具体题目的特点，才能高效准确地求出极限值。建议通过大量练习来加深理解，提高解题能力。
附表：常用极限公式一览表
| 类型 | 公式 | 示例 |
| 基本极限 | $ \lim_{x \to a} C = C $ | $ \lim_{x \to 2} 5 = 5 $ |
| 多项式极限 | $ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $ | $ \lim_{x \to 1} x^2 + 3x - 1 = 3 $ |
| 分式极限 | $ \lim_{x \to \infty} \frac{ax^n}{bx^m} $ | $ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{2x^3} = 0 $ |
| 三角函数 | $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $ | $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2 $ |
| 指数函数 | $ \lim_{x \to 0} e^x = 1 $ | $ \lim_{x \to 0} e^{2x} = 1 $ |
| 对数函数 | $ \lim_{x \to 1} \ln x = 0 $ | $ \lim_{x \to 1} \ln(x+1) = \ln 2 $ |
| 特殊极限 | $ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a $ | $ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e $ |
以上内容为原创总结，旨在帮助学习者系统掌握极限计算的基本方法与公式。
