【欧拉方程求解微分方程】在常微分方程的求解过程中，欧拉方程（Euler Equation）是一种特殊类型的二阶线性微分方程，其形式为：
$$
x^2 y'' + x y' + (x^2 - n^2) y = 0
$$
其中 $ n $ 是一个常数。该方程在物理和工程中广泛应用，尤其在处理球坐标系下的波动问题、热传导问题等时具有重要意义。
为了更清晰地理解如何求解欧拉方程，本文将对常见类型的欧拉方程进行总结，并给出对应的通解形式。
一、欧拉方程的基本形式与求解方法
欧拉方程的一般形式可以表示为：
$$
x^2 y'' + a x y' + b y = 0
$$
其中 $ a $ 和 $ b $ 是常数。通过变量替换 $ t = \ln x $，可以将其转化为常系数线性微分方程，从而方便求解。
二、常见类型与通解形式
| 类型 | 欧拉方程形式 | 特征方程 | 根的情况 | 通解形式 |
| 1 | $ x^2 y'' + x y' + y = 0 $ | $ r^2 + 0r + 1 = 0 $ | 一对共轭复根 $ r = \pm i $ | $ y = C_1 \cos(\ln x) + C_2 \sin(\ln x) $ |
| 2 | $ x^2 y'' + 3x y' + 4y = 0 $ | $ r^2 + 2r + 4 = 0 $ | 一对共轭复根 $ r = -1 \pm \sqrt{3}i $ | $ y = x^{-1} [C_1 \cos(\sqrt{3} \ln x) + C_2 \sin(\sqrt{3} \ln x)] $ |
| 3 | $ x^2 y'' - x y' + y = 0 $ | $ r^2 - 2r + 1 = 0 $ | 重根 $ r = 1 $ | $ y = (C_1 + C_2 \ln x) x $ |
| 4 | $ x^2 y'' + x y' - y = 0 $ | $ r^2 + 0r - 1 = 0 $ | 两个实根 $ r = \pm 1 $ | $ y = C_1 x + C_2 x^{-1} $ |
三、求解步骤总结
1. 识别方程形式：确认是否为欧拉方程，即形如 $ x^2 y'' + a x y' + b y = 0 $。
2. 变量替换：令 $ t = \ln x $，将原方程转化为常系数线性微分方程。
3. 求特征方程：根据新方程构造特征方程 $ r^2 + (a - 1)r + b = 0 $。
4. 分析根的情况：
- 若有两个不同的实根 $ r_1, r_2 $，则通解为 $ y = C_1 x^{r_1} + C_2 x^{r_2} $。
- 若有重根 $ r $，则通解为 $ y = (C_1 + C_2 \ln x) x^r $。
- 若有共轭复根 $ \alpha \pm \beta i $，则通解为 $ y = x^{\alpha} [C_1 \cos(\beta \ln x) + C_2 \sin(\beta \ln x)] $。
5. 代回原变量：将 $ t = \ln x $ 代回，得到关于 $ x $ 的通解。
四、应用实例
以方程 $ x^2 y'' + x y' + y = 0 $ 为例：
- 变量替换后变为 $ y'' + y = 0 $
- 特征方程为 $ r^2 + 1 = 0 $，解得 $ r = \pm i $
- 通解为 $ y = C_1 \cos(\ln x) + C_2 \sin(\ln x) $
五、小结
欧拉方程的求解关键在于变量替换与特征方程的分析。通过系统的方法，可以快速找到不同情况下的通解形式。掌握这些方法有助于在实际问题中高效地解决相关微分方程问题。
