矩阵运算符号 矩阵运算

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§2 矩阵的运算现在来定义矩阵的运算，它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系.下面要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置.为了确定起见，我们取定一个数域。

以下所讨论的矩阵全是由数域中的数组成的.1. 加法定义1 设,是两个 矩阵，则矩阵称为 和 的和，记为.矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加.当然。

相加的矩阵必须要有相同的行数和列数.由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法，也就是数的加法，所以不难验证。

它有结合律： ;交换律： .元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 ，在不致引起含混的时候。

可简单地记为 .显然，对所有的 ，.矩阵称为矩阵 的负矩阵。

记为 .显然有矩阵的减法定义为例如 在§1我们看到，某一种物资如果有 个产地， 个销地。

那么一个调动方案就可表示为一个 矩阵.矩阵中的元素 表示由产地 要运到销地 的这个物资的数量，比如说吨数.如果从这些产地还有另一个物资要运到这些销地，那么。

这种物资的调动方案也可以表示为一个矩阵.于是从产地到销地的总的运输量也可以表示为一个 矩阵.显然，这个矩阵就等于上面两个矩阵的和.根据矩阵加法的定义,应用关于向量组的秩的性质，很容易看出：秩（ + ）≤ 秩（ ）+秩（ ）2. 乘法在给出乘法定义之前。

先看一个引出矩阵问题.设 和 是两组变量，它们之间的关系为 (1)又如 是第三组变量，它们与 的关系为 (2)由(1)与(2)不难看出 与 的关系：. (3)如果我们用 (4)来表示 与 的关系。

比较(3),(4)，就有. (5)用矩阵的表示法，我们可以说。

如果矩阵分别表示变量 与 以及 与 之间的关系，那么表示 与 之间的关系的矩阵 就由公式(5)决定.矩阵 称为矩阵 与 的乘积，记为一般地。

我们有：定义2 设,那么矩阵,其中, (6)称为矩阵 与 的乘积，记为.由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵 与 的乘积 的第 行第 列的元素等于第一个矩阵 的第 行与第二个矩阵 的第 列的对应元素的乘积的和.当然。

在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等.例1 设,那么例2 如果是一线性方程组的系数矩阵，而分别是未知量和常数项所成的 和 矩阵。

那么线性方程组就可以写成矩阵的等式.例3 在空间中作一坐标系的转轴.设由坐标系 到 的坐标变换的矩阵为如果令,那么坐标变换的公式可以写成.如果再作一次坐标系的转轴，设由第二个坐标系 到第三个坐标系 的坐标变换公式为,其中.那么不难看出，由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为.矩阵的乘法适合结合律.设则.但是矩阵的乘法不适合交换律。

即一般说来.例如，设,而.由这个例子我们还可看出，两个不为零的矩阵的乘积可以是零。

这是矩阵乘法的一个特点.由此还可得出矩阵消去律不成立.即当 时,不一定有 .定义3 主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的 矩阵称为 级单位矩阵，记为 。

或者在不致引起含混的时候简单写为 .显然有,.矩阵的乘法和加法还适合分配律，即, (9). (10)应该指出，由于矩阵的适合交换律。

所以(9)与(10)是两条不同的规律.我们还可以定义矩阵的方幂.设 是一 矩阵，定义换句话说， 就是 个 连乘.当然只能对行数与列数相等的矩阵来定义.由乘法的结合律。

不难证明,.这里 是任意正整数.因为矩阵乘法不适合交换律，所以 与 一般不相等.3. 数量乘法. 定义4 矩阵称为矩阵 与数 的数量乘积，记为 .换句话说。

用数 乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上 .数量乘积适合以下的规律：, (11), (12), (13), (14). (15)矩阵通常称为数量矩阵.作为(15)的特殊情形，如果 是一 矩阵，那么有.这个式子说明。

数量矩阵与所有的 矩阵作乘法是可交换的.可以证明：如果一个 级矩阵与所有 级矩阵作乘法是可交换的，那么这个矩阵一定是数量矩阵.再有,,这就是说，数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法.4. 转置把一矩阵 的行列互换。

所得到的矩阵称为 的转置，记为 .可确切地定义如下：定义5 设，所谓的转置就是指矩阵.显然。

矩阵的转置是 矩阵.矩阵的转置适合以下的规律：, (16), (17), (18). (19)(16)表示两次转置就还原，这是显然的.例4 设求 .求 .。

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。