【什么是负定矩阵】负定矩阵是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理、经济学和工程学等领域。它与正定矩阵相对，用于描述二次型的性质以及矩阵在优化问题中的行为。
一、
负定矩阵是指一个对称矩阵，其所有特征值均为负数。换句话说，对于任意非零向量 $ \mathbf{x} $，都有 $ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} < 0 $。负定矩阵在数学中具有重要的几何和代数意义，常用于判断函数的极值点性质、稳定性分析以及约束优化等问题。
负定矩阵的判定方法包括：检查特征值是否全为负、判断主子式符号是否交替为负、或者通过二次型的形式进行验证。
二、表格对比（正定矩阵 vs 负定矩阵）
| 特征 | 正定矩阵 | 负定矩阵 |
| 定义 | 对称矩阵，所有特征值 > 0 | 对称矩阵，所有特征值 < 0 |
| 二次型 | $ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0 $ | $ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} < 0 $ |
| 主子式 | 所有主子式 > 0 | 所有主子式符号为 (-1)^k，k 为阶数 |
| 稳定性 | 常用于稳定系统 | 常用于不稳定系统或凹函数 |
| 应用场景 | 极小值点、凸函数 | 极大值点、凹函数 |
三、常见误区
- 非对称矩阵不能直接判断为负定：负定矩阵必须是对称矩阵。
- 特征值为零的情况不属于负定：若存在零特征值，则矩阵为半负定。
- 主子式符号需严格满足交替规则：仅靠部分主子式无法准确判断。
四、实际应用示例
1. 优化问题：在无约束优化中，若目标函数的Hessian矩阵为负定，则该点为极大值点。
2. 稳定性分析：在动力系统中，负定矩阵可能表示系统不稳定。
3. 金融模型：在风险评估中，负定矩阵可用于分析资产组合的波动性。
五、结论
负定矩阵是描述二次型和矩阵性质的重要工具，理解其定义、性质和应用场景有助于深入掌握线性代数的核心内容，并在多个领域中发挥关键作用。
