【什么叫分式不等式】分式不等式是指含有分式的不等式，通常形式为 $\frac{A(x)}{B(x)} > 0$、$\frac{A(x)}{B(x)} < 0$ 或类似的形式。这类不等式在数学中常见于代数和函数分析中，其解法需要考虑分子与分母的符号变化以及分母不能为零的条件。
一、分式不等式的基本概念
分式不等式是由分式表达式组成的不等式，其中分母中含有变量。它与整式不等式不同，因为分母的存在会带来定义域的限制，同时也会影响不等式的符号判断。
1. 分式不等式的结构
- 一般形式：$\frac{A(x)}{B(x)} > 0$ 或 $\frac{A(x)}{B(x)} < 0$
- 其中 $A(x)$ 和 $B(x)$ 是关于 $x$ 的多项式或代数式。
- 注意：$B(x) \neq 0$
2. 分式不等式的解集
- 解集是满足不等式的所有 $x$ 值。
- 需要结合分子和分母的符号进行分析。
- 可能存在多个区间，需通过数轴法或列表法进行判断。
二、分式不等式的解法步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确定分母不为零的条件，即 $B(x) \neq 0$ |
| 2 | 将不等式转化为标准形式，如 $\frac{A(x)}{B(x)} > 0$ |
| 3 | 求出分子和分母的零点（即 $A(x)=0$ 和 $B(x)=0$） |
| 4 | 在数轴上标出这些关键点，将实数轴分成若干区间 |
| 5 | 在每个区间内选取一个测试值，判断分式的符号 |
| 6 | 根据不等号方向，确定满足条件的区间 |
三、分式不等式的典型例子
| 不等式 | 解集 |
| $\frac{x - 1}{x + 2} > 0$ | $x < -2$ 或 $x > 1$ |
| $\frac{x + 3}{x - 2} < 0$ | $-3 < x < 2$ |
| $\frac{2x - 5}{x^2 - 4} \geq 0$ | $x \leq \frac{5}{2}$ 且 $x \neq \pm2$ |
四、分式不等式的特点总结
| 特点 | 说明 |
| 定义域限制 | 分母不能为零，因此需排除使分母为零的值 |
| 符号变化 | 分子和分母的符号共同决定整个分式的正负 |
| 多区间解 | 解集可能由多个不连续的区间组成 |
| 数轴法常用 | 通过数轴划分区间并测试符号是常见的解题方法 |
五、分式不等式与整式不等式的区别
| 项目 | 分式不等式 | 整式不等式 |
| 表达形式 | 含有分母 | 无分母 |
| 定义域 | 有限制（分母不能为零） | 全实数范围内 |
| 解法 | 需考虑分母符号 | 直接求根后分析符号 |
| 区间 | 可能包含多个不连续区间 | 通常为连续区间 |
总结
分式不等式是含有分式的不等式，其核心在于处理分母为零的问题以及分子与分母的符号变化。解题时需注意定义域，合理划分区间，并通过测试点来判断符号。掌握分式不等式的解法对于解决实际问题具有重要意义。
