【二阶微分方程的3种特解公式】在求解非齐次二阶线性微分方程时，寻找特解是关键步骤之一。根据非齐次项的形式不同，通常可以采用不同的方法来构造特解。以下是三种常见的特解公式及其适用条件和使用方法的总结。
一、特解公式的分类与适用情况
| 特解类型 | 非齐次项形式 | 使用方法 | 公式示例 |
| 1. 常数系数非齐次项 | $ f(x) = e^{ax} $ | 用待定系数法设特解为 $ y_p = A e^{ax} $ | 若 $ a $ 不是特征根，则 $ y_p = A e^{ax} $；若 $ a $ 是特征根，则 $ y_p = A x e^{ax} $ |
| 2. 多项式型非齐次项 | $ f(x) = P_n(x) $ | 设特解为多项式 $ y_p = Q_n(x) $，次数与原方程相同 | 若 $ 0 $ 是特征根，则特解需乘以 $ x^k $（$ k $ 为重数） |
| 3. 正弦/余弦型非齐次项 | $ f(x) = e^{ax} \sin(bx) $ 或 $ e^{ax} \cos(bx) $ | 设特解为 $ y_p = e^{ax}(A \cos(bx) + B \sin(bx)) $ | 若 $ a + bi $ 是特征根，则需乘以 $ x^k $ |
二、具体说明
1. 常数系数非齐次项（指数函数）
对于形如：
$$
y'' + py' + qy = e^{ax}
$$
- 如果 $ a $ 不是特征方程 $ r^2 + pr + q = 0 $ 的根，则特解设为 $ y_p = A e^{ax} $。
- 如果 $ a $ 是单根，则特解设为 $ y_p = A x e^{ax} $。
- 如果 $ a $ 是重根，则特解设为 $ y_p = A x^2 e^{ax} $。
2. 多项式型非齐次项（多项式）
对于形如：
$$
y'' + py' + qy = P_n(x)
$$
- 设特解为 $ y_p = Q_n(x) $，其中 $ Q_n(x) $ 是一个次数不超过 $ n $ 的多项式。
- 如果 $ 0 $ 是特征方程的根（即常数项为零），则需要将特解乘以 $ x^k $，其中 $ k $ 是特征根的重数。
3. 正弦/余弦型非齐次项（三角函数）
对于形如：
$$
y'' + py' + qy = e^{ax} \sin(bx) \quad \text{或} \quad e^{ax} \cos(bx)
$$
- 设特解为 $ y_p = e^{ax}(A \cos(bx) + B \sin(bx)) $。
- 如果 $ a + bi $ 是特征方程的根，则需将特解乘以 $ x^k $，其中 $ k $ 是特征根的重数。
三、应用建议
在实际问题中，选择合适的特解形式能显著简化计算过程。建议在解题前先分析非齐次项的类型，并根据其形式选择对应的特解公式。同时，注意检查是否与特征根重合，避免漏掉乘以 $ x^k $ 的步骤。
四、总结
| 类型 | 适用条件 | 公式形式 | 注意事项 |
| 指数函数 | $ e^{ax} $ | $ A e^{ax} $ 或 $ A x^k e^{ax} $ | 判断 $ a $ 是否为特征根 |
| 多项式 | $ P_n(x) $ | $ Q_n(x) $ 或 $ x^k Q_n(x) $ | 判断 $ 0 $ 是否为特征根 |
| 三角函数 | $ e^{ax} \sin(bx) $ 或 $ e^{ax} \cos(bx) $ | $ e^{ax}(A \cos(bx) + B \sin(bx)) $ 或 $ x^k e^{ax}(A \cos(bx) + B \sin(bx)) $ | 判断 $ a + bi $ 是否为特征根 |
通过以上三种特解公式的应用，可以系统地解决大部分非齐次二阶线性微分方程的特解问题，提高解题效率与准确性。
