【三角形外接圆的圆心坐标公式】在几何学中，三角形的外接圆是指经过三角形三个顶点的唯一一个圆。这个圆的圆心称为三角形的外心，它也是三角形三条边的垂直平分线的交点。外心到三个顶点的距离相等，即为外接圆的半径。

为了求出三角形外接圆的圆心坐标，可以利用代数方法，根据已知的三角形三个顶点的坐标进行计算。下面将对这一过程进行总结，并提供一个清晰的公式表格供参考。

一、基本概念

- 外心（Circumcenter）：三角形外接圆的圆心，是三边垂直平分线的交点。

- 外接圆半径（Circumradius）：外心到三角形任一顶点的距离。

- 坐标法：通过已知三点坐标，利用解析几何方法求解外心坐标。

二、公式推导思路

设三角形的三个顶点分别为 $ A(x_1, y_1) $、$ B(x_2, y_2) $、$ C(x_3, y_3) $。

1. 求边AB的中点和斜率：

- 中点 $ M_{AB} = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) $

- 斜率 $ k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $

2. 求AB边的垂直平分线方程：

- 垂直平分线的斜率为 $ -\frac{1}{k_{AB}} $（若 $ k_{AB} \neq 0 $）

- 方程形式为：

$$

y - y_{M_{AB}} = -\frac{1}{k_{AB}} (x - x_{M_{AB}})

$$

3. 同理求边AC的垂直平分线方程。

4. 联立两条垂直平分线方程，求得外心坐标 $ (x_0, y_0) $。

三、外心坐标的直接公式

对于任意三角形 $ A(x_1, y_1) $、$ B(x_2, y_2) $、$ C(x_3, y_3) $，其外心 $ O(x_0, y_0) $ 的坐标可以通过以下公式计算：

$$

x_0 = \frac{

\begin{vmatrix}

x_1^2 + y_1^2 & y_1 & 1 \\

x_2^2 + y_2^2 & y_2 & 1 \\

x_3^2 + y_3^2 & y_3 & 1 \\

\end{vmatrix}

}{2 \cdot

\begin{vmatrix}

x_1 & y_1 & 1 \\

x_2 & y_2 & 1 \\

x_3 & y_3 & 1 \\

\end{vmatrix}

}

$$

$$

y_0 = \frac{

\begin{vmatrix}

x_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\

x_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\

x_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \\

\end{vmatrix}

}{2 \cdot

\begin{vmatrix}

x_1 & y_1 & 1 \\

x_2 & y_2 & 1 \\

x_3 & y_3 & 1 \\

\end{vmatrix}

}

$$

其中，行列式计算如下：

- 行列式 $ D = \begin{vmatrix}

x_1 & y_1 & 1 \\

x_2 & y_2 & 1 \\

x_3 & y_3 & 1 \\

\end{vmatrix} = x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) $

四、外心坐标的计算步骤表

\begin{vmatrix}

x_1^2 + y_1^2 & y_1 & 1 \\

x_2^2 + y_2^2 & y_2 & 1 \\

x_3^2 + y_3^2 & y_3 & 1 \\

\end{vmatrix}

}{2D} $ 3 计算分子 $ y_0 $ $ y_0 = \frac{

\begin{vmatrix}

x_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\

x_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\

x_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \\

\end{vmatrix}

}{2D} $

五、注意事项

- 若 $ D = 0 $，说明三点共线，无法构成三角形，也无外接圆。

- 若使用计算器或编程语言（如Python），可直接调用行列式函数进行计算。

- 该公式适用于所有非退化的三角形。

六、总结

三角形外接圆的圆心坐标可以通过代数方法准确计算，关键在于正确构造行列式并进行求解。此方法不仅适用于手工计算，也便于程序化实现，是几何与代数结合的典型应用之一。

附：外心坐标公式一览表