【求多元函数的极限】在数学分析中，多元函数的极限是研究函数在某一点附近的行为的重要工具。与一元函数不同，多元函数的极限涉及多个变量的变化，因此需要更严谨的定义和方法来判断其是否存在。本文将对求多元函数极限的方法进行总结，并通过表格形式展示关键知识点。

一、多元函数极限的基本概念

设函数 $ f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 的某个邻域内有定义（除去可能的该点本身），若对于任意给定的正数 $ \varepsilon > 0 $，存在一个正数 $ \delta > 0 $，使得当 $ 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta $ 时，都有

$$

$$

则称 $ L $ 为 $ f(x, y) $ 在 $ (x_0, y_0) $ 处的极限，记作

$$

\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x, y) = L.

$$

二、求多元函数极限的常用方法

1. 直接代入法

若函数 $ f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 处连续，则可以直接代入该点的坐标计算极限。

适用条件： 函数在该点连续。

2. 路径法（沿不同路径趋近）

如果从不同的路径趋近于某一点时，得到的极限值不一致，则说明该极限不存在。

常见路径：

- 沿直线 $ y = kx $

- 沿抛物线 $ y = x^2 $

- 沿极坐标 $ x = r\cos\theta, y = r\sin\theta $

3. 夹逼定理（极限的三明治法则）

若存在两个函数 $ g(x, y) $ 和 $ h(x, y) $，满足

$$

g(x, y) \leq f(x, y) \leq h(x, y),

$$

且

$$

\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} g(x, y) = \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} h(x, y) = L,

$$

则

$$

\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x, y) = L.

$$

4. 极坐标变换法

将直角坐标系转换为极坐标系，利用 $ x = r\cos\theta $、$ y = r\sin\theta $，将极限转化为关于 $ r $ 的单变量极限，适用于对称性较强的函数。

5. 变量替换法

通过引入新的变量或参数，简化表达式，便于计算极限。

6. 利用已知极限公式

例如：

- $ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(x+y)}{x+y} = 1 $

- $ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{x^2 + y^2} = 0 $

三、总结表格

四、注意事项

- 多元函数的极限与路径有关，必须确保所有路径下极限一致。

- 若极限存在，其值应与路径无关。

- 极限不存在的常见情况包括：路径不一致、趋向无穷、函数无定义等。

通过上述方法和技巧，可以系统地解决多元函数的极限问题，提升解题效率与准确性。在实际应用中，灵活结合多种方法，往往能取得更好的效果。