【排列组合的基本公式】在数学中，排列与组合是研究从一组元素中选取若干个进行排列或组合的计算方法。它们广泛应用于概率、统计、计算机科学等领域。掌握排列与组合的基本公式，有助于解决实际问题中的计数问题。
一、基本概念
- 排列（Permutation）：从n个不同元素中取出m个元素，按照一定顺序排成一列。
- 组合（Combination）：从n个不同元素中取出m个元素，不考虑顺序地组成一个集合。
二、排列与组合的公式
| 项目 | 公式 | 说明 |
| 排列数（P(n, m)） | $ P(n, m) = \frac{n!}{(n - m)!} $ | 从n个不同元素中取出m个进行排列 |
| 组合数（C(n, m)） | $ C(n, m) = \frac{n!}{m!(n - m)!} $ | 从n个不同元素中取出m个进行组合 |
| 全排列（P(n, n)） | $ P(n, n) = n! $ | 从n个不同元素中全部取出进行排列 |
| 重复排列（允许重复） | $ n^m $ | 每次可选n个元素中的任意一个，共选m次 |
| 重复组合（允许重复） | $ C(n + m - 1, m) $ | 从n个不同元素中取出m个，允许重复 |
三、常见应用举例
1. 排列的应用：
- 从5个人中选出3人排成一列，有多少种方式？
→ $ P(5, 3) = \frac{5!}{2!} = 60 $
2. 组合的应用：
- 从5个人中选出3人组成一个小组，有多少种方式？
→ $ C(5, 3) = \frac{5!}{3!2!} = 10 $
3. 重复排列：
- 用数字0~9组成三位数，每位可以重复，共有多少种可能？
→ $ 10^3 = 1000 $
4. 重复组合：
- 从3种水果中选5个（可重复），有多少种选择方式？
→ $ C(3 + 5 - 1, 5) = C(7, 5) = 21 $
四、总结
排列与组合是数学中重要的计数工具，理解它们的定义和公式对于解决实际问题具有重要意义。在实际应用中，需根据是否涉及顺序来判断使用排列还是组合，同时注意是否允许重复选择。通过合理运用这些公式，可以高效地完成各种计数任务。
