【立方和公式推导过程】在数学中，立方和公式是一个重要的代数恒等式，常用于简化多项式的计算。其基本形式为：
$$ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $$
本文将详细推导该公式的来源，并通过总结与表格的形式进行展示。
一、推导过程
1. 展开乘积项
我们从右边的表达式 $(a + b)(a^2 - ab + b^2)$ 出发，将其展开：
$$
(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2)
$$
展开每一项：
$$
= a^3 - a^2b + ab^2 + ba^2 - ab^2 + b^3
$$
2. 合并同类项
将上述结果中的同类项合并：
- $-a^2b + ba^2 = 0$
- $ab^2 - ab^2 = 0$
- 剩余项为 $a^3 + b^3$
所以最终结果为：
$$
a^3 + b^3
$$
3. 结论
因此，我们得出：
$$
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
$$
二、总结与表格
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 从公式右边 $(a + b)(a^2 - ab + b^2)$ 开始展开 |
| 2 | 分别乘以 $a$ 和 $b$，得到 $a^3 - a^2b + ab^2 + ba^2 - ab^2 + b^3$ |
| 3 | 合并同类项，发现中间项相互抵消 |
| 4 | 最终得到 $a^3 + b^3$，验证了公式的正确性 |
| 5 | 得出结论：$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ |
三、应用举例
例如，若 $a = 2$, $b = 1$，则：
- 左边：$2^3 + 1^3 = 8 + 1 = 9$
- 右边：$(2 + 1)(2^2 - 2 \cdot 1 + 1^2) = 3 \times (4 - 2 + 1) = 3 \times 3 = 9$
两边相等，验证了公式的正确性。
四、小结
立方和公式是代数运算中的一个重要工具，它不仅帮助我们简化表达式，还能在解方程、因式分解等问题中发挥重要作用。通过上述推导与实例验证，可以更清晰地理解其背后的数学逻辑。
