【平面解析几何公式汇总】平面解析几何是数学中的重要分支，主要研究平面上点、线、曲线之间的关系及其几何性质。掌握相关公式有助于快速解决几何问题，提高解题效率。本文对常见的平面解析几何公式进行系统总结，便于学习和查阅。
一、基本概念与公式
| 类别 | 公式 | 说明 |
| 点的坐标 | $ (x, y) $ | 平面上任意一点的直角坐标表示 |
| 两点间距离 | $ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $ | 两点之间的直线距离 |
| 中点公式 | $ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) $ | 两点中点的坐标 |
| 斜率公式 | $ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $（$ x_2 \ne x_1 $） | 直线的斜率 |
| 倾斜角 | $ \theta = \arctan(k) $ | 斜率与倾斜角的关系 |
二、直线方程
| 方程形式 | 一般式 | 说明 |
| 点斜式 | $ y - y_0 = k(x - x_0) $ | 已知一点和斜率 |
| 斜截式 | $ y = kx + b $ | 斜率为k，截距为b |
| 两点式 | $ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} $ | 已知两点 |
| 截距式 | $ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 $ | 横纵截距分别为a和b |
| 一般式 | $ Ax + By + C = 0 $ | 适用于所有直线 |
三、直线间的关系
| 关系 | 条件 | 公式 |
| 平行 | 斜率相等 | $ k_1 = k_2 $ |
| 垂直 | 斜率乘积为-1 | $ k_1 \cdot k_2 = -1 $ |
| 相交 | 斜率不等 | $ k_1 \ne k_2 $ |
四、圆的方程
| 方程形式 | 一般式 | 说明 |
| 标准式 | $ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $ | 圆心为(a, b)，半径r |
| 一般式 | $ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 $ | 可化为标准式 |
| 参数式 | $ x = a + r\cos\theta $ $ y = b + r\sin\theta $ | 参数θ表示角度 |
五、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程
| 曲线类型 | 标准方程 | 说明 |
| 椭圆 | $ \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 $ | 长轴沿x或y轴 |
| 双曲线 | $ \frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 $ | 开口方向沿x轴 |
| 抛物线 | $ y^2 = 4px $ 或 $ x^2 = 4py $ | 顶点在原点，开口方向不同 |
六、点到直线的距离公式
| 公式 | 说明 | ||
| 点 $ P(x_0, y_0) $ 到直线 $ Ax + By + C = 0 $ 的距离 | $ d = \frac{ | Ax_0 + By_0 + C | }{\sqrt{A^2 + B^2}} $ |
七、其他常用公式
| 公式 | 说明 | |||||
| 向量夹角 | $ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{a} | \vec{b} | } $ | 向量间的夹角计算 | |
| 两向量垂直 | $ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $ | 向量垂直条件 | ||||
| 三角形面积 | $ S = \frac{1}{2} | x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) | $ | 三点坐标求面积 |
总结
平面解析几何是连接代数与几何的重要桥梁，掌握其核心公式对于理解几何图形的性质、计算距离、判断位置关系等具有重要意义。通过上述表格的整理，可以更清晰地掌握各类公式的应用场景与使用方法，帮助我们在实际问题中灵活运用。建议结合练习题加深理解，提升解题能力。
