【什么叫做正项级数】在数学中，级数是一个重要的概念，尤其在微积分和分析学中有着广泛的应用。而“正项级数”是级数中的一种特殊类型，指的是每一项都是非负数的级数。下面我们将对“正项级数”的定义、性质以及相关判别方法进行总结。
一、什么是正项级数？
定义：
如果一个数列 $\{a_n\}$ 中的所有项都满足 $a_n \geq 0$（即每一项都是非负数），那么由这个数列构成的级数：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots
$$
就称为正项级数。
二、正项级数的性质
| 特性 | 内容说明 |
| 非负性 | 所有项均为非负数，即 $a_n \geq 0$ |
| 收敛性 | 正项级数要么收敛，要么发散，不会出现条件收敛的情况 |
| 部分和单调性 | 正项级数的部分和序列 $\{S_n\}$ 是单调递增的 |
| 与比较判别法 | 常用于比较判别法、比值判别法等判断其收敛性 |
三、正项级数的收敛性判别方法
以下是一些常用的正项级数收敛性判别法：
| 方法名称 | 适用条件 | 判别依据 |
| 比较判别法 | 已知另一个级数的收敛性 | 若 $0 \leq a_n \leq b_n$ 且 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 也收敛 |
| 比值判别法 | 适用于通项为幂函数或指数函数的形式 | 若 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$，则级数收敛；若大于1，则发散 |
| 根值判别法 | 适用于通项含 $n$ 次方的形式 | 若 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} < 1$，则级数收敛 |
| 积分判别法 | 当 $f(x)$ 是正的、连续的、单调递减函数时 | 若 $\int_1^{\infty} f(x) dx$ 收敛，则 $\sum a_n$ 收敛 |
四、常见例子
| 级数 | 类型 | 是否收敛 |
| $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ | 调和级数 | 发散 |
| $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ | p-级数（p=2） | 收敛 |
| $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ | 等比级数 | 收敛 |
| $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ | 可拆项级数 | 收敛 |
五、总结
正项级数是所有项都为非负数的级数，其部分和始终是单调递增的。由于其非负性，正项级数的收敛性更容易判断，常用的方法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法和积分判别法。理解正项级数有助于进一步学习更复杂的级数类型，如交错级数、绝对收敛和条件收敛等。
注： 本文内容基于基础数学知识编写，旨在帮助读者理解“正项级数”的基本概念与应用。
